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课程简介

我们接触函数已经很久了。对于这个熟悉的伙伴,考试中除了会考察基本的性质和规律,还会出现并不常见的一些题型。在《函数的应用》这个章节,我们就要来研究这些题型。比如涉及函数零点及零点个数的题目,或者二分法求零点值的题目,或者利用函数思想解决实际应用题等等。这些题型就是本章研究的重点,通过学习其中的技巧和方法,你将对函数有更深刻的理解和认知。

视频列表
  • 1、关于零点的定义有三点需要注意:(1)方程$f(x)=0$有实数根等价于函数$y=f(x)$的图象与$x$轴有交点等价于函数$y=f(x)$有零点;(2)零点不是点,而是实数;(3)方程的根的个数$\geq $函数的零点的个数,只有当方程没有重根时,它们才相等
    2、 要判断$x_{0}$是否是$f(x)$的零点,只要验证$f(x_{0})=0$是否成立即可
    3、 用代数法求零点或零点个数,其实就是解方程。对于含有绝对值的方程和二次项含有参数的二次方程,都要注意分类讨论,而在求参数范围时,可以采用参变分离的方法
  • 1、​用图象法求零点个数时,函数图象与x轴交点的个数,就是零点的个数
    2、 形如F(x)=f(x)-g(x)的函数,零点就是函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标
    3、 形如f(x)=g(x)-C,C为常数的函数,零点就是函数y=g(x)的图象与y=C的图象交点的横坐标
  • 1、掌握函数零点的判定定理和单调函数的零点判定定理
    2、 判定f(x)在区间(a,b)上存在零点,只需要满足两条:一,图象连续;二,端点函数值异号,即f(a)·f(b)小于0
    3、 判断f(x)在区间(a,b)上存在唯一零点,只需要满足三条:一,图象连续;二、函数单调;三、端点函数值异号。且对于连续的单调函数来说,f(a)·f(b)小于0与f(x)在(a,b)内存在一个零点,是完全等价的
    4、 在运用这两个判定定理时,首先要确定函数在已知区间内是连续的,或连续单调的。然后再计算区间端点的函数值,只有确定它们异号,才能确定一定有零点,或者有唯一的零点
  • 1、第一种零点分布:在某个点的两侧或同侧。两侧时,限定$a\cdot f(r)<0$即可。同侧时,可以通过三个不等式构成的不等式组来限定,分别用到了端点函数值、对称轴和判别式
    2、 第二种零点分布:两个零点分别位于$(p,q)$与$(m,n)$内$(p<q\leq m<n)$。可以通过这四个由开口方向和端点函数值构成的不等式组来限定
    3、 第三种零点分布:$f(x)$在区间$(p,q)$内有一个或两个零点。两个零点时,也要通过端点函数值、对称轴和判别式这三点,构成四个不等式来限定。一个零点时,要先按相切和相交分类。相切时,$\Delta =0$, 然后求出切点,即零点,验证它是否在指定开区间内。相交时,又可以细分为两类:第一类:一个零点在开区间内,另一零点在开区间外。通过$f(p)\cdot f(q)<0$限定即可;第二类:一个零点在开区间内,另一零点恰好是开区间的端点
  • 1、二分法是通过取区间中点,看正负,不断缩小区间范围,无限逼近零点的一种求零点近似值的方法
    2、 要注意“精确度”和“精确到”这两种表述的区别,前者限制了区间范围的大小,后者规定了数据的精确度
    3、 只有变号零点才能用二分法,不变号零点是不能的
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